Minkowski-Distanz: Ein umfassender Leitfaden

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Distanzmaße bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Datenwissenschaft und der maschinellen Lernung, die die Messung der Ähnlichkeit oder Unähnlichkeit zwischen Datenpunkten ermöglichen. In diesem Leitfaden werden wir die Grundlagen der Minkowski-Distanz untersuchen, ihre mathematischen Eigenschaften und ihre Implementierungen. Wir werden erkennen, wie sie zu anderen gebräuchlichen Distanzmaßen in Beziehung steht und ihre Anwendung mit Codierungssamples in Python und R demonstrieren.

Egal, ob du Klusteringalgorithmen entwickelst, an Ausreißerverhalten arbeitest oder Klassifikationsmodelle feinjustiert, verstehen der Minkowski-Distanz kann deine Herangehensweise an Datenanalyse und Modellentwicklung verbessern. Lass uns mal anschauen.

Was ist die Minkowski-Distanz?

Der Minkowski-Abstand ist eine vielseitige Metrik, die in normierten Vektorräumen verwendet wird und nach dem deutschen Mathematiker Hermann Minkowski benannt ist. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung mehrerer bekannter Distanzmaße, die es zu einem grundlegenden Konzept in verschiedenen Bereichen wie Mathematik, Informatik und Datenanalyse macht.

Der Minkowski-Abstand bietet eine Methode, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einer mehrdimensionalen Raum zu messen. Was ihn besonders nützlich macht, ist seine Fähigkeit, andere Distanzmaße als Spezialfälle aufzunehmen, insbesondere durch ein Parameter p. Dieser Parameter ermöglicht dem Minkowski-Abstand, sich auf verschiedene Problemräume und Datenmerkmale anzupassen. Die allgemeine Formel für den Minkowski-Abstand lautet:

Wobei:

  • x und y zwei Punkte in einem n-dimensionalen Raum sind

  • p ein Parameter, das den Typ des Abstandes bestimmt (p ≥ 1)

  • |xi - yi| stellt die absolute Differenz der Koordinaten von x und y in jeder Dimension dar

Der Minkowski-Abstand ist nützlich aus zwei Hauptgründen. Erstens bietet er Ihnen die Flexibilität, zwischen Manhattan- oder Euklidischer Distanz je nach Bedarf zu wechseln. Zweitens erkennt er an, dass nicht alle Daten集 (denken Sie an hochdimensionale Räume) gut mit rein Manhattan- oder rein Euklidischer Distanz verwendet werden.

Praktisch ist der Parameter p typischerweise durch die Einbeziehung einer Trainings-/Test-Validierungsarbeitsweise gewählt. Indem Sie verschiedene Werte von p während der Cross-Validierung testen, können Sie feststellen, welcher Wert die beste Modelleffizienz für Ihre spezifische Datenmenge bietet.

Wie der Minkowski-Abstand funktioniert

Lassen Sie uns mal anschauen, wie der Minkowski-Abstand in Bezug auf andere Abstandsformeln steht und dann einen Beispiel durchgehen.

Allgemeinere andere Distanzmaße

Erstens sollten Sie bedenken, dass die Minkowski-Distanzformel die Formeln für Manhattan-, Euklidischen- und Tschebyscheff-Abstände enthält.

Manhattan-Abstand (p = 1):

Wenn p auf 1 gesetzt wird, wird der Minkowski-Abstand zu einem Manhattan-Abstand.

Auch bekannt als Stadtblock-Abstand oder L1-Norm, der Manhattan-Abstand misst die Summe der absoluten Differenzen.

Euklidischer Abstand (p = 2):

Wenn p auf 2 gesetzt wird, wird der Minkowski-Abstand zu einem Euklidischen Abstand.

Euklidische Distanz ist die am häufigsten verwendete Distanzmaß, die die ebenen Strecke zwischen zwei Punkten repräsentiert.

Chebyschev-Distanz (p → ∞):

Chebyschev-Distanz, auch bekannt als Schachbrett-Distanz, misst die maximale Differenz entlang jeder Dimension.

Beispiel durchführen

Um die Funktionalität und Vorteile der Minkowski-Distanz wirklich zu verstehen, lassen Sie uns ein Beispiel durchführen. Diese Untersuchung wird uns helfen zu verstehen, wie der Parameter p die Berechnung und Interpretation von Distanzen in mehrdimensionalen Räumen beeinflusst.

Stellen wir uns zwei Punkte in einem 2D-Raum vor:

  • Punkt A: (2, 3)
  • Punkt B: (5, 7)

Wir werden die Minkowski-Distanz zwischen diesen Punkten für verschiedene p-Werte berechnen.

Der Parameter p in der Minkowski-Distanzformel kontrolliert die Empfindlichkeit der Maße für die Differenzen in den einzelnen Komponenten:

  • Wenn p=1: Alle Differenzen beitragen linear.
  • Wenn p=2: Größere Differenzen haben einen stärkeren Einfluss aufgrund der Quadrierung.
  • Wenn p>2: Der Einfluss auf größere Differenzen wird noch verstärkt.
  • Wenn p→∞: Nur die maximale Differenz aller Dimensionen zählt.

Wie p zunimmt, nähert sich die Minkowski-Distanz normalerweise der Chebyshev-Distanz, da höhere p -Werte den größten Unterschied mehr Gewicht verleihen und den kleineren Unterschieden weniger.

Um zu verstehen, wie verschiedene Werte von p die Distanzberechnung zwischen unseren Punkten A(2, 3) und B(5, 7) beeinflussen, betrachten wir den folgenden Graph:

Beobachten wir den Graph, so können wir sehen, wie sich die Distanzmaßnahme mit zunehmendem p ändert:

  • Der Manhattan-Abstand (p=1), dargestellt durch die grüne Linie, führt zu der längsten Strecke, da er strikt den Gitterlinien folgt.
  • Der euklidische Abstand (p=2), dargestellt durch die orangere gerade Linie, bietet eine direkte, geradlinige Strecke.
  • Der Chebyshev-Abstand (p=∞), dargestellt durch die roten gestrichelten Linien, konzentriert sich ausschließlich auf die größte Koordinatenunterschiede und schafft eine Strecke, die maximale Bewegung in einer Dimension vornimmt, bevor sie sich auf die andereorientiert.
  • Der Minkowski-Abstand mit p=3 in purpurrot zeigt eine leichte Kurve, was eine Übergangsphase zwischen euklidischen und Chebyshev-Abständen anzeigt.

Diese Visualisierung hilft uns zu verstehen, warum verschiedene p -Werte für verschiedene Anwendungen ausgewählt werden könnten. So könnte der Manhattan-Abstand beispielsweise in Stadtnavigationsproblemen angemessener sein, während der euklidische Abstand oft in physikalischen Raumberechnungen verwendet wird. Höhere p -Werte, wie im Fall von Minkowski p=3, könnten in Szenarien nützlich sein, in denen größere Unterschiede betont werden sollen, und der Chebyshev-Abstand könnte bevorzugt werden, wenn der größte Unterschied in jeder Dimension der wichtigste Faktor ist.

Anwendungen der Minkowski-Distanz

Die Minkowski-Distanz mit ihrem anpassbaren Parameter p ist ein flexibles Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen verwendet wird. Durch ändern von p kann man anpassen, wie die Distanz zwischen Punkten gemessen wird, was sie für verschiedene Aufgaben geeignet macht. Niedrig sind vier Anwendungen aufgeführt, in denen die Minkowski-Distanz eine wichtige Rolle spielt.

Maschinenlernen und Datenwissenschaften

Bei maschinenlernenden und datenwissenschaftlichen Algorithmen ist die Minkowski-Distanz grundlegend für die Messung der Ähnlichkeit oder Unähnlichkeit zwischen Datenpunkten. Ein prominentes Beispiel ist das k-Nächstes-Nachbarn (k-NN) Algorithmus, der Datenpunkte basierend auf den Kategorien ihrer nächsten Nachbarn klassifiziert. Durch Verwendung der Minkowski-Distanz kann man den Parameter p ändern, um die Art und Weise zu verändern, wie die „Nähe“ zwischen Punkten berechnet wird.

Erkennung von Mustern

Die Erkennung von Mustern umfasst die Identifizierung von Mustern und Regularitäten in Daten, wie z.B. die Handwriting-Erkennung oder die Detektion von Gesichtsmerkmalen. In diesem Zusammenhang misst die Minkowski-Distanz die Differenz zwischen Vektoren, die Mustereigenschaften repräsentieren. Zum Beispiel in der Bilderkennung kann jedes Bild durch einen Vektor von Pixelwerten repräsentiert werden. Die Berechnung der Minkowski-Distanz zwischen diesen Vektoren ermöglicht es, zu quantifizieren, wie ähnlich oder unähnlich die Bilder sind.

Durch die Anpassung von p können wir die Empfindlichkeit der Distanzmaßnahme für Unterschiede in bestimmten Merkmalen steuern. Ein niedriger p könnte insgesamt Unterschiede across allen Pixeln berücksichtigen, während ein höherer p signifikante Unterschiede in bestimmten Bereichen der Abbildung betonen könnte.

Ausnahmedetektion

Das Ziel der Ausnahmedetektion besteht darin, Datenpunkte zu identifizieren, die sich erheblich von der Mehrheit unterscheiden, was in Bereichen wie Betrugserkennung, Netzwerksicherheit und Fehlererkennung in Systemen entscheidend ist. Die Minkowski-Distanz wird verwendet, um zu messen, wie weit ein Datenpunkt von anderen in der Datenmenge entfernt ist. Punkte mit großen Distanzen sind potenzielle Ausnahmen.Durch das Auswählen eines angemessenen p können Analysten die Empfindlichkeit der Ausnahmedetektionssysteme für die Arten von Abweichungen verbessern, die am relevantesten für ihre spezifische Kontext sind.

Rechnerische Geometrie und räumliche Analyse

In der ComputationsGeometrie und der räumlichen Analyse wird die Minkowski-Distanz zur Berechnung der Distanzen zwischen Punkten im Raum verwendet, die die Grundlage für viele geometrische Algorithmen bildet. Zum Beispiel basiert die Kollisionserkennung in diesen Bereichen auf der Minkowski-Distanz, um festzustellen, wann Objekte nahe genug zueinander sind, um Interaktionen auszulösen. Durch Anpassen des Wertes p können Entwickler verschiedene Kollisionsgrenzen erzeugen, von kantigen (niedriger p) bis rundungen (höhere p).

Jenseits der Kollisionserkennung kann die Minkowski-Distanz auch in räumlichen Clustering und Formanalyse nützlich sein. Die Änderung des Werts von p ermöglicht es Forschern, unterschiedliche Aspekte räumlicher Beziehungen hervorzuheben, von Straßenabschnittsdistanzen bis zu gesamten Formähnlichkeiten.

Mathematische Eigenschaften der Minkowski-Distanz

Die Minkowski-Distanz ist nicht nur ein vielseitiges Werkzeug in praktischen Anwendungen, sondern auch ein wichtiges Konzept in der mathematischen Theorie, insbesondere in der Untersuchung von Metrischen Räumen und Normen.

Metrische Raum-Eigenschaften

Die Minkowski-Distanz erfüllt die vier grundlegenden Eigenschaften, die für eine Funktion erforderlich sind, um als Metrik in einem Metrischen Raum betrachtet zu werden:

  • Nicht-Negativität: Der Minkowski-Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten ist immer nicht-negativ, d(x,y)≥0. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass es der p-te Wurzel aus einer Summe nicht-negativer Terms (gerundete absolute Werte zum Potenz p) ist.
  • Identität der unterscheinbaren: Der Minkowski-Abstand zwischen zwei Punkten ist null genau dann, wenn die beiden Punkte identisch sind. Mathematisch ist d(x,y) = 0 genau dann, wenn x=y. Dies folgt aus der Tatsache, dass die absolute Differenz zwischen identischen Komponenten null ist.
  • Symmetrie: Der Minkowski-Abstand ist symetrisches, d.h. d(x,y)=d(y,x). Dieses Eigenschaft erhalten, weil die Reihenfolge der Subtraktion in den absolute Wert komponenten nicht das Ergebnis beeinflussen.
  • Dreiecksungleichung: Die Minkowski-Distanz erfüllt die Dreiecksungleichung, die besagt, dass für jeder drei Punkte x, y und z der Abstand von x zu z höchstens die Summe der Distanzen von x zu y und von y zu z ist; formell ist d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z). Diese Eigenschaft ist direkt aus der Formel nicht intuitiv zu beweisen und erfordert in der Regel fortgeschrittenere Mathematik, aber es stellt grundsätzlich sicher, dass ein direkter Weg zwischen zwei Punkten die kürzeste Strecke ist.

Normale generalisierung

Der Minkowski-Abstand bildet ein allgemeines System, das verschiedene Methoden zur Messung von Abständen in mathematischen Räumen durch das Konzept von Normen vereinigt. Mit einfachen Worten ist ein Norm eine Funktion, die einem Vektor in einem Vektorraum einen nicht-negative Länge oder Größe zuweist, also maßgeblich, wie „lang“ der Vektor ist. Durch Anpassen des Parameters p in der Minkowski-Abstandsformel können wir fließend zwischen verschiedenen Normen übergehen, die jeweils eine eigene Methode zur Berechnung der Vektorlänge bieten.

Beispielsweise wird die Minkowski-Distanz bei p=1 zur Manhattan-Norm und misst die Distanz als Summe der absoluten Differenzen entlang jeder Dimension – vergleichen Sie das mit der Navigation durch ein Stadtgrid. Bei p=2 wird sie zur Euklidischen Norm und berechnet die geradlinige („wie der Vogel fliegt“) Distanz zwischen Punkten. Und je näher p an die unendliche Zahl kommt, tendiert sie zu der Tschebyscheff-Norm, bei der die Distanz durch den größten einzigen Unterschied in den Dimensionen bestimmt wird. Diese Flexibilität ermöglicht der Minkowski-Distanz, sich auf verschiedene mathematische und praktische Kontexte anzuschließen, macht sie zu einem vielseitigen Werkzeug zur Messung von Distanzen in unterschiedlichen Situationen.

Berechnung der Minkowski-Distanz in Python und R

Lassen Sie uns Implementierungen der Minkowski-Distanz mit Python und R erkunden. Wir untersuchen verfügbare Pakete und Bibliotheken, die dies erreichen können.

Python-Beispiel

Um Minkowski-Distanzen in Python zu berechnen, können wir die SciPy-Bibliothek verwenden, die effiziente Implementierungen verschiedener Distanzmaße bereitstellt. Hier ist ein Beispiel, das Minkowski-Distanzen für verschiedene p-Werte berechnet:

import numpy as np
from scipy.spatial import distance

# Beispielpunkte
point_a = [2, 3]
point_b = [5, 7]

# verschiedene p-Werte
p_values = [1, 2, 3, 10, np.inf]
print("Minkowski distances using SciPy:")

for p in p_values:
	if np.isinf(p):
	    # Für p = unendlich, verwenden Sie die Chebyschev-Distanz
	    dist = distance.chebyshev(point_a, point_b)
	    print(f"p = ∞, Distance = {dist:.2f}")
	else:
	        dist = distance.minkowski(point_a, point_b, p)
	        print(f"p = {p}, Distance = {dist:.2f}")

Durch Ausführen dieses Codes können Leser erkennen, wie sich die Distanz mit verschiedenen p-Werten ändert, was die zuvor diskutierten Konzepte verstärkt.

Minkowski distances using SciPy:
p = 1, Distance = 7.00
p = 2, Distance = 5.00
p = 3, Distance = 4.50
p = 10, Distance = 4.02
p = ∞, Distance = 4.00

Dieser Code demonstriert:

  1. Wie verwenden Sie die Distanzfunktionen von SciPy für Minkowski- und Chebyschev-Distanzen.
  2. Berechnung von Distanzen für verschiedene p-Werte, einschließlich der Unendlichkeit.
  3. Die Beziehung zwischen Minkowski-Distanz und anderen Metriken (Manhattan, Euklidische, Chebyschev).

Beispiel in R

Für R verwenden wir die Funktion dist() aus der Bibliothek stats:

# Definieren Sie die Minkowski-Distanzfunktion mit stats::dist

minkowski_distance <- function(x, y, p) {
  points <- rbind(x, y)
  if (is.infinite(p)) {
    # Bei p = Inf verwenden Sie method = "maximum" für die Chebyschev-Distanz
    distance <- stats::dist(points, method = "maximum")
  } else {
    distance <- stats::dist(points, method = "minkowski", p = p)
  }
  return(as.numeric(distance))
}

# Beispielhafte Nutzung
point_a <- c(2, 3)
point_b <- c(5, 7)

# Unterschiedliche p-Werte
p_values <- c(1, 2, 3, 10, Inf)
cat("Minkowski distances between points A and B using stats::dist:\n")

for (p in p_values) {
  distance <- minkowski_distance(point_a, point_b, p)
  if (is.infinite(p)) {
    cat(sprintf("p = ∞, Distance = %.2f\n", distance))
  } else {
    cat(sprintf("p = %g, Distance = %.2f\n", p, distance))
  }
}

Dieser Code demonstriert:

  1. Wie man eine Funktion minkowski_distance verwendet, indem die dist()-Funktion aus dem stats-Modul genutzt wird.

  2. Verarbeitung verschiedener p-Werte, einschließlich des Unendlichkeitswerts für die Chebyschev-Distanz.

  3. Berechnung der Minkowski-Distanz für verschiedene p-Werte.

  4. Formatieren des Ausgabestroms, um Distanzen mit zwei Dezimalstellen aufzulösen.

Das Ergebnis dieses Codes wird sein:

Minkowski distances between points A and B using stats::dist:
p = 1, Distance = 7.00
p = 2, Distance = 5.00
p = 3, Distance = 4.50
p = 10, Distance = 4.02
p = ∞, Distance = 4.00

Diese R-Implementierung bietet eine Gegenüberstellung zum Python-Beispiel, was Lesern erlaubt, zu sehen, wie die Minkowski-Distanz in verschiedenen Programmierumgebungen berechnet werden kann.

Fazit

Die Minkowski-Distanz stellt eine flexibel und anpassbare Methode dar, um Distanzen in mehrdimensionalen Raum zu messen. Ihre Fähigkeit, andere häufig verwendete Distanzmetriken durch das Parameter p zu generalisieren, macht sie zu einem wertvollen Werkzeug in verschiedenen Bereichen der Datenwissenschaft und des maschinellen Lernens. Durch die Anpassung von p können Praktiker ihre Distanzberechnungen auf die besonderen Eigenschaften ihrer Daten und die Anforderungen ihrer Projekte abstimmen, was die Ergebnisse in Aufgaben wie Clustering oder Ausreißererkennung verbessern kann.

Wenn Sie die Minkowski-Distanz in Ihrer eigenen Arbeit anwenden, empfehlen wir Ihnen, mit verschiedenen p-Werten zu experimentieren und deren Auswirkungen auf Ihre Ergebnisse zu beobachten. Für diejenigen, die ihre Kenntnisse und Fähigkeiten vertiefen möchten, empfehlen wir die Untersuchung des Kurses Designing Machine Learning Workflows in Python und die Prüfung auf die Data Scientist Certification Berufsprogramm. Diese Ressourcen können Ihnen helfen, auf Ihren Kenntnisstand von Distanzmetriken zu bauen und sie effektiv in verschiedenen Situationen anzuwenden.

Source:
https://www.datacamp.com/tutorial/minkowski-distance